18 febrero 2008

MODELOS MATEMATICOS DE INFLUJO DE AGUA
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Los modelos matemáticos de influjo de agua comúnmente utilizados en la industria petrolera son:

1. Estado estable

(a) Pot
(b) Schithuis (1936)
(c) Hurst (1943)

2. Estado inestable

(a) van Everdingen-Hurst (1949)
(b) Carter-Tracy (1960)
(c) Fetkovich (1971)
(d) Allard-Chen (1984)

POT

* El modelo Pot es el modelo mas simple que puede ser utilizado para estimar el influjo de agua a un yacimiento
* Esta basado en la definición básica de compresibilidad
* Una caída de presión en el yacimiento debido a la producción de fluidos causa que el agua del acuífero se expanda y fluya hacia el yacimiento
* Usualmente se utiliza para acuíferos pequeños, del mismo tamaño del yacimiento
Aplicando la definición de compresibilidad al acuífero se tiene:



donde:

El volumen de agua inicial en un acuífero radial es:




donde:




En el caso que la influencia del acuífero no sea completamente radial, se define un factor de forma: donde:



Balance de materiales


Al combinar la Ec. 24 con la Ec. 20 obtenemos


Debido a que las propiedades del acuífero (cw, cf, h, da,) pueden variar de forma poco significativa, es conveniente
agrupar estas propiedades en una variable desconocida K:


SCHILTHUIS


* El comportamiento de flujo esta descrito por la Ley de Darcy
* Régimen de flujo en estado estable

La tasa de influjo de agua se puede describir aplicando la Ley de Darcy:



donde:

k: permeabilidad del acuífero [md]
h: espesor del acuífero [ft]
ra: radio del acuífero [ft]
ro: radio del yacimiento [ft]
t: tiempo [d]
C: constante de influjo de agua [bbl/d/psi]


Integrando obtenemos:

Utilizando un método de integración numérico obtenemos:
También se puede expresar como: donde:


j: paso de tiempo
k: numero de intervalos de tiempo


HURST

* El radio “aparente” del acuífero ra se incrementa con el tiempo
* La relación adimensional ra/ro se reemplaza por una función que depende del tiempo ra/ro = at



Sustituyendo en la Ec. 27 obtenemos:

Integrando obtenemos: Utilizando un método de integración numérico obtenemos:



El modelo de acuífero de estado estable de Hurst contienen dos parámetros desconocidos: a y C. Estos parámetros se
pueden determinar a partir del comportamiento de presión e historia de influjo de agua.


Utilizando la Ec. 31 se tiene:


La Ec. 34 indica que un grafico


en función de LN t debe ser una lınea recta con pendiente 1/C y cuando t = 1 se
obtiene 1/C LN a



VAN EVERDINGEN-HURST

Van Everdingen y Hurst resolvieron la ecuación de influjo para un sistema yacimiento-acuífero aplicando la transformada de Laplace a la ecuación de difusividad que describe el flujo bajo condiciones transientes.



Esto conduce a la determinación del influjo de agua como función de una caída de presión dada en el borde interno del
sistema yacimiento-acuífero.



Van Everdingen-Hurst propuso una solución a la ecuación adimensional de difusividad que utiliza la condición de presión constante y las siguientes condiciones iniciales y de borde:


1.- Condición inicial:


2.- Condición de borde interno:3.- Condición de borde exterior:


· Acuıfero infinito:
· Acuıfero finito:


Adicionalmente, van Everdingen-Hurst asumieron que el acuífero estaba caracterizado por:

Espesor uniforme
Permeabilidad constante
Porosidad constante
Compresibilidad de roca y agua constante

La solución a la Ec. 35 para un sistema yacimiento-acuífero, considerando las condiciones de borde descritas, permite calcular el influjo de agua en forma de un parámetro adimensional denominado influjo de agua adimensional WeD, el cual es función del tiempo adimensional tD y el radio adimensional rD:


WeD se encuentra en forma tabular para diversas geometrías de sistema yacimiento-acuífero
El influjo acumulado de agua se calcula de la siguiente expresión:

donde:

We: influjo de agua acumulado [bbl]
B: constante de influjo de agua (depende del modelo geométrico) [bbl/psi]
WeD: influjo de agua adimensional

El valor de tD y B se muestran a continuación:



donde:






Principio de superposición

Existe una caída de presión en el contacto agua-petróleo debido a la producción de fluidos en un yacimiento asociado a un acuífero
El agua se expande y la caída de presión se propaga dentro del acuífero hacia el borde exterior
Debido a que las caídas de presión ocurren en forma independiente, el agua se expande a consecuencia de sucesivas caídas de presión



La presión promedio es:
La caída de presión es: Para calcular el influjo acumulado de agua a un tiempo arbitrario t, el cual corresponde al paso de tiempo n, se requiere la superposición de las soluciones de la Ec. 37:


Sumando obtenemos:



Balance de materiales

La constante del acuífero B puede ser determinado mediante la solución del método grafico de balance de materiales.

Para ello se tiene:


Por lo que:




La solución de la ecuación lineal de balance de materiales mediante el método grafico puede ser utilizada para determinar el valor de un parámetro desconocido del acuífero cuando el resto de los parámetros son conocidos.

Análisis de sensibilidad










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